Konvexi[^13^]https: site.financialmodelingprep.com education financial ratios interest rate risk vs credit risk understanding fixedincome investment risks

Was ist Konvexität?

Konvexität ist ein Schlüsselkonzept in der Festverzinslichen Wertpapieranalyse, das das Ausmaß der Krümmung in der Beziehung zwischen Anleihepreisen und Zinsveränderungen misst. Sie gehört zur Kategorie der Fixed Income Analysis und ist eine Verfeinerung des traditionellen Durationsmaßes. Während die Duration eine lineare Schätzung der Preisänderungen einer Anleihe bei Zinsbewegungen liefert, berücksichtigt die Konvexität die Tatsache, dass sich Anleihepreise nicht linear, sondern entlang einer Kurve bewegen. Dies macht die Konvexität zu einem unverzichtbaren Werkzeug für das Risikomanagement in Portfoliomanagement, insbesondere bei großen Zinsänderungen. Sie hilft Anlegern, die vollständige Zinssensitivität einer Anleihe oder eines Anleiheportfolios zu verstehen.

Geschichte und Ursprung

Das Konzept der Konvexität in der Finanzwelt entstand aus der Notwendigkeit, die Grenzen der Duration als alleiniges Maß für die Zinssensitivität von Anleihen zu überwinden. Während die Duration, die oft mit Frederick Macaulay in Verbindung gebracht wird, eine erste Ableitung der Preis-Rendite-Beziehung darstellt, wurde erkannt, dass diese Beziehung bei größeren Zinsänderungen nicht linear ist. Die Anwendung der Konvexität als zweite Ableitung zur genaueren Schätzung von Anleihepreisänderungen wurde von Ökonomen wie Hon-Fei Lai und Stanley Diller populär gemacht, die die mathematische Krümmung im Kontext von Anleihepreisen untersuchten. Dies ermöglichte eine präzisere Vorhersage des Verhaltens von Anleihepreisen unter verschiedenen Zinsszenarien.

Wichtige Erkenntnisse

Konvexität misst die Krümmung in der Beziehung zwischen Anleihepreisen und Rendite, die über die lineare Schätzung der Duration hinausgeht.
Für die meisten traditionellen Anleihen ist die Konvexität positiv, was bedeutet, dass die Preise bei sinkenden Zinsen stärker steigen als sie bei einem gleich großen Anstieg der Zinsen fallen.
Einige Anleihen, insbesondere solche mit eingebetteten Optionen wie Kündbare Anleihen, können eine negative Konvexität aufweisen.
Konvexität ist entscheidend für die Bewertung und das Risikomanagement von festverzinslichen Wertpapieren, insbesondere bei großen Zinsbewegungen.
Die Anwendung von Konvexität ermöglicht eine genauere Prognose von Anleihepreisänderungen und hilft bei der Gestaltung von Hedging-Strategien.

Formel und Berechnung

Die Konvexität einer Anleihe ist die zweite Ableitung ihres Preises in Bezug auf die Rendite, dividiert durch den Preis. Dies kann als Maß für die Änderung der Duration einer Anleihe bei einer Änderung der Rendite verstanden werden.

Die approximierte Formel für die Konvexität (oft als "Modified Convexity" bezeichnet) lautet:

$\text{Konvexität} = \frac{1}{P \cdot (1 + y)^2} \sum_{t=1}^{N} \frac{CF_t \cdot t \cdot (t+1)}{(1 + y)^{t}}$

Dabei gilt:

( P ) = Aktueller Anleihepreis
( CF_t ) = Cashflow (Zahlung von Kupons und Tilgung) zum Zeitpunkt ( t )
( y ) = Rendite pro Periode
( t ) = Zeitpunkt des Cashflows
( N ) = Anzahl der Cashflows bis zur Fälligkeit

Diese Formel liefert eine mathematische Darstellung, wie die Anleihepreis-Rendite-Kurve gekrümmt ist. Für Anleihen mit eingebetteten Optionen wird üblicherweise die effektive Konvexität verwendet, die numerisch unter Berücksichtigung des Optionspreises berechnet wird.

Interpretation der Konvexität

Die Konvexität ist ein Maß für das sogenannte "zweite Ordnung"-Risiko einer Anleihe oder eines Anleiheportfolios. Sie ergänzt die Duration, die das "erste Ordnung"-Risiko misst. Für Anleihen mit positiver Konvexität (die meisten Standardanleihen) bedeutet dies, dass bei fallenden Zinsen der Anleihepreis überproportional steigt, während er bei steigenden Zinsen unterproportional fällt. Dies ist vorteilhaft für Anleger, da es bei positiven Zinsänderungen (fallen⁷de Zinsen) größere Gewinne und bei negativen Zinsänderungen (steigende Zinsen) kleinere Verluste als von der Duration allein vorhergesagt ermöglicht.

Eine höhere Konvexität bedeutet eine stärkere Krümmung der Preis-Rendite-Kurve, was zu einer größeren Asymmetrie der Preisreaktionen führt. Für einen Anleiheinvestor ist eine positive Konvexität im Allgemeinen wünschenswert, da sie ein eingebautes "Versicherungspolster" gegen große Zinsbewegungen bietet. Umgekehrt bedeutet eine geringere Konvexität, dass die Anleihe empfindlicher auf Zinsänderungen reagiert, was zu größeren Schwankungen führt. Das Verständnis dieses Zusammenhangs ist entscheidend für die Einschätzung der potenziellen [Volat⁶ilität](https://diversification.com/term/volatility) einer Anleihe.

Hypothetisches Beispiel

Betrachten wir zwei fiktive Anleihen, Anleihe A und Anleihe B, die beide eine Duration von 5 Jahren haben, aber unterschiedliche Konvexitätswerte: Anleihe A hat eine Konvexität von 50, und Anleihe B hat eine Konvexität von 10. Nehmen wir an, der aktuelle Preis beider Anleihen beträgt 1.000 Einheiten und die Rendite 5 %.

Szenario 1: Zinsen fallen um 1 % (von 5 % auf 4 %)

Nur Duration (lineare Schätzung): Beide Anleihen würden um 5 % steigen (5 Jahre Duration * 1 % Zinsänderung = 5 %). Preisänderung = 1.000 * 0,05 = +50 Einheiten. Neuer Preis = 1.050 Einheiten.
Mit Konvexität (genauere Schätzung):
- Anleihe A (Konvexität 50): Die Preissteigerung ist größer als die lineare Schätzung. Die Konvexitätsanpassung führt zu einem zusätzlichen Preisanstieg. Der tatsächliche Anstieg könnte beispielsweise 50 Einheiten (Duration) + 0,5 * 50 * (0,01)^2 * 1000 = +52,5 Einheiten betragen. Neuer Preis = 1052,5 Einheiten.
- Anleihe B (Konvexität 10): Die Preissteigerung ist immer noch größer als die lineare Schätzung, aber weniger stark als bei Anleihe A. Der tatsächliche Anstieg könnte 50 Einheiten (Duration) + 0,5 * 10 * (0,01)^2 * 1000 = +50,5 Einheiten betragen. Neuer Preis = 1050,5 Einheiten.

Szenario 2: Zinsen steigen um 1 % (von 5 % auf 6 %)

Nur Duration (lineare Schätzung): Beide Anleihen würden um 5 % fallen (5 Jahre Duration * 1 % Zinsänderung = 5 %). Preisänderung = 1.000 * 0,05 = -50 Einheiten. Neuer Preis = 950 Einheiten.
Mit Konvexität (genauere Schätzung):
- Anleihe A (Konvexität 50): Der Preisrückgang ist geringer als die lineare Schätzung. Die Konvexitätsanpassung mildert den Preisverlust. Der tatsächliche Rückgang könnte beispielsweise 50 Einheiten (Duration) - 0,5 * 50 * (0,01)^2 * 1000 = -47,5 Einheiten betragen. Neuer Preis = 952,5 Einheiten.
- Anleihe B (Konvexität 10): Der Preisrückgang ist immer noch geringer als die lineare Schätzung, aber weniger stark als bei Anleihe A. Der tatsächliche Rückgang könnte 50 Einheiten (Duration) - 0,5 * 10 * (0,01)^2 * 1000 = -49,5 Einheiten betragen. Neuer Preis = 950,5 Einheiten.

Dieses Beispiel zeigt, dass Anleihe A mit der höheren Konvexität in beiden Fällen vorteilhafter ist: Sie gewinnt mehr bei fallenden Zinsen und verliert weniger bei steigenden Zinsen, im Vergleich zu Anleihe B. Dies unterstreicht den Nutzen der Konvexität für Anleger, die ihr Rendite-Risiko-Profil optimieren möchten.

Praktische Anwendungen

Konvexität findet in mehreren Bereichen der Finanzmärkte Anwendung:

Portfoliomanagement: Portfoliomanager nutzen die Konvexität, um die Reaktion ihrer Anleiheportfolios auf große Zinsbewegungen zu steuern. Durch die Auswahl von Anleihen mit unterschiedlichen Konvexitätsprofilen können sie die Zinssensitivität des Portfolios anpassen und so ein Gleichgewicht zwischen potenziellen Gewinnen und Verlusten herstellen.
Risikomanagement: Konvexität ist ein entscheidendes Instrument zur Quantifizierung des Zinsrisikos. Sie ermöglicht es Anlegern und Finanzinstituten, die Auswirkungen extremer Zinsänderungen auf den Wert ihrer Investitionen genauer zu prognostizieren, über das hinaus, was die Duration allein leisten kann. Dies ist besonders wichtig für die Absicherung großer Portfolios.
Asset-Liability Management (ALM): Im Asset-Liability Management (ALM) setzen institutionelle Anleger wie Pensionsfonds Konvexität ein, um die Zinssensitivität ihrer Vermögenswerte und Verbindlichkeiten aufeinander abzustimmen. Diese "Konvexitätsanpassung" oder "Convexity Matching" hilft sicherzustellen, dass sowohl bei kleinen als auch bei großen Zinsverschiebungen das Portfolio stabil bleibt⁵ und zukünftige Verpflichtungen erfüllt werden können.
Bewertung von Anleihen mit eingebetteten Optionen: Bei Zero-Coupon Bonds und insbesondere bei kündbaren Anleihen ist die Konvexität entscheidend für eine präzise Bewertung. Callable Bonds können eine negative Konvexität aufweisen, was bedeutet, dass sich ihr Preisverhalten bei Zinsänderungen unerwartet ändern kann, da der Emittent die Option hat, die Anleihe zurückzukaufen.
Handelsstrategien: Händler nutzen Konvexitätsanalysen, um strategische Entscheidungen zu treffen, beispielsweise bei der Implementierung von Barbell-Strategien, die die Vorteile hoher Konvexität bei Extremen der Zinskurve nutzen.

Einschränkungen und Kritikpunkte

Obwohl die Konvexität ein leistungsstarkes Werkzeug in der Festverzinslichen Wertpapieranalyse ist, hat sie, wie jedes Finanzmodell, ihre Grenzen und ist Gegenstand von Kritik:

Vereinfachende Annahmen: Eine Hauptkritik an der Konvexität ist, dass sie annimmt, dass sich die Zinsen über alle Laufzeiten hinweg gleichmäßig ändern (parallele Verschiebung der Zinskurve). In der Realität kommt es jedoch häufig zu nicht-parallelen Verschiebungen, wie z.B. Verflachungen oder Versteilerungen der Zinskurve, was die Genauigkeit der Konvexitätsberechnungen beeinträchtigen kann.
Begrenzter Anwendungsbereich: Die Konvexität konzentriert sich hauptsächlich auf die zweite Ableitung der Preis-Rendite-Beziehung und vernachlässigt höhere Ableitungen und andere relevante⁴ Marktdynamiken. Während sie für kleine Renditeänderungen eine nützliche Annäherung bietet, kann ihre Genauigkeit bei größeren Renditeänderungen oder wenn andere Marktfaktoren ins Spiel kommen, nachlassen.
Komplexität bei eingebetteten Optionen: Bei Anleihen mit eingebetteten Optionen, wie z.B. kündbaren oder putbaren Anleihen, wird die Konvexitätsberechnung komplexer. Diese Anleihen können eine negativ³e Konvexität aufweisen, bei der die Preisentwicklung von der Standardkonvexität abweicht, was die Interpretation erschwert und die Vorhersagekraft einschränkt.
Statische Messung: Konvexität ist eine statische Messung, die auf aktuellen Renditen und Preisen basiert. In sich schnell bewegenden Märkten, in denen sich Zinsen und Anleihemerkmale schnell ändern, fängt si²e die Dynamik möglicherweise nicht vollständig ein. Daher muss sie in Verbindung mit anderen Risikomaßen und Szenarioanalysen verwendet werden.

Konvexität vs. Duration

Konvexität und Duration sind beides entscheidende Maße ¹für das Zinsrisiko bei festverzinslichen Wertpapieren, doch sie erfassen unterschiedliche Aspekte der Preisbewegung einer Anleihe.

Merkmal	Duration	Konvexität
Was sie misst	Misst die lineare Sensitivität des Anleihepreises gegenüber Zinsänderungen. Gibt die ungefähre prozentuale Preisänderung pro 1 % Zinsänderung an.	Misst die Krümmung der Preis-Rendite-Beziehung und die Rate, mit der sich die Duration bei Zinsänderungen ändert. Stellt eine zweite Ableitung der Preisänderung dar.
Beziehung	Geht von einer linearen Beziehung zwischen Preis und Rendite aus.	Berücksichtigt die nicht-lineare, gekrümmte Beziehung zwischen Preis und Rendite.
Genauigkeit	Genau für kleine Zinsänderungen; unterschätzt die Preisänderung bei großen Zinsbewegungen bei positiver Konvexität.	Verbessert die Genauigkeit der Preisänderungsschätzung, insbesondere bei großen Zinsänderungen, indem sie die Krümmung berücksichtigt.
Auswirkung	Zeigt die Richtung und das Ausmaß der unmittelbaren Preisreaktion.	Zeigt an, wie sich die Price-Yield-Reaktion beschleunigt oder verlangsamt, und bietet ein "Polster" bei steigenden Zinsen (bei positiver Konvexität).
Zusammenspiel	Notwendig, aber unzureichend für eine vollständige Risikobewertung.	Ergänzt die Duration, um ein umfassenderes Bild des Zinsrisikos zu liefern.

Die Verwechslung entsteht oft, weil beide Konzepte die Zinsempfindlichkeit betreffen. Die Duration ist der grundlegende Baustein und gibt eine erste Schätzung, während die Konvexität die Feinabstimmung vornimmt und für eine genauere Vorhersage des Anleiheverhaltens bei größeren Zinsbewegungen unerlässlich ist.

Häufig gestellte Fragen

Was ist der Unterschied zwischen positiver und negativer Konvexität?
Eine positive Konvexität, die bei den meisten Anleihen auftritt, bedeutet, dass der Preis der Anleihe bei sinkenden Zinsen stärker steigt, als er bei einem gleich großen Anstieg der Zinsen fällt. Im Gegensatz dazu bedeutet negative Konvexität, dass der Preis der Anleihe bei sinkenden Zinsen weniger stark steigt, als er bei einem gleich großen Anstieg der Zinsen fällt. Negative Konvexität ist typisch für Anleihen mit eingebetteten Optionen, wie zum Beispiel kündbaren Anleihen.

Warum ist Konvexität für Anleger wichtig?
Konvexität ist für Anleger wichtig, da sie eine genauere Einschätzung des Zinsrisikos einer Anleihe ermöglicht, insbesondere bei größeren Zinsänderungen. Sie hilft Anlegern, das Ausmaß der potenziellen Gewinne oder Verluste besser zu verstehen und informiertere Entscheidungen beim Portfoliomanagement und bei Hedging-Strategien zu treffen.

Welche Faktoren beeinflussen die Konvexität einer Anleihe?
Mehrere Faktoren beeinflussen die Konvexität einer Anleihe. Dazu gehören die Restlaufzeit der Anleihe (längere Laufzeiten führen in der Regel zu höherer Konvexität), der Kupon (niedrigere Kupons führen zu höherer Konvexität, da ein größerer Teil des Werts aus der letzten Zahlung stammt) und das Vorhandensein von eingebetteten Optionen (die zu negativer Konvexität führen können). Auch Zero-Coupon Bonds weisen typischerweise eine höhere Konvexität auf.